Question

設空間兩個不同的單位向量

a

=(x1，y1，0)，

b

=(x2，y2，0)與向量

c

=(1，1，1)的夾角都等于45°．
（1）求x₁+y₁和x₁•y₁的值；
（2）求＜

a

，

b

＞的大小．

Answer 1

分析：（1）根據單位向量

a

建立模為1，然后根據空間向量的夾角公式建立等式關系，解之即可求出x₁+y₁和x₁•y₁的值；
（2）根據（1）可得x₂+y₂，x₂•y₂的值，從而求出x₁，y₁，x₂，y₂的值，即可求出x₁•x₂，y₁•y₂=的值，最后根據cos＜

a

，

b

＞=

a • b

|a| • |b|

=x₁•x₂+y₁•y₂進行求出即可．

解答：解：（1）∵單位向量

a

=(x1，y1，0)與向量

c

=(1，1，1)的夾角等于45°
∴|

a

|=

x 2 1 + y 2 1

=1，cos45°=

a •  c

|a| •  |c|

=

1

3

（x₁+y₁）=

2

2

∴x₁+y₁=

6

2

，x₁•y₁=-

1

4

（2）同理可知x₂+y₂=

2

2

，x₂•y₂=-

1

4

∴x₁•x₂=-

1

4

，y₁•y₂=-

1

4

cos＜

a

，

b

＞=

a • b

|a| • |b|

=x₁•x₂+y₁•y₂=-

1

2

∴＜

a

，

b

＞=120°

點評：本題主要考查了空間向量的數量積運算，以及模的運算，同時考查了方程的求解，屬于中檔題．