Question

氣象臺A處向西300千米處有一個臺風中心，若臺風以每小時40千米的速度向東北方向移動，距臺風中心250千米以內的地方都處在臺風圈內，問：氣象臺A處在臺風圈內的時間大約多長？（提示：以現在臺風中心位置點O為原點，以臺風中心O點和氣象臺位置A點連線為x軸，建立如圖所示坐標系）

Answer 1

分析：建立如圖所示的直角坐標系，可得以A為圓心的臺風圈所在圓的方程為（x-300）²+y²=250²，臺風移動路線l的方程為y=x（x≥0），聯解直線與圓的方程并利用一元二次方程根的判別式，可得直線l與圓A有兩個交點B、C．再由韋達定理與兩點的距離公式加以計算，得到BC的長即可算出臺風影響該氣象臺的時長．

解答：解：以現在臺風中心位置點O為原點，以臺風中心O點和氣象臺位置A點連線為x軸，建立如圖所示坐標系．
以點A為圓心、半徑為250千米的圓的方程為（x-300）²+y²=250²，
臺風移動路線直線l的方程為y=x（x≥0），
由題意，可得只要直線l與圓A有交點，點A就處在臺風圈內，A處就受到影響．
由

y=x (x-300)2+y2=2502

，消去y得2x²-600x+27500=0，
∵△=600²-4×2×27500=140000＞0，
∴直線BC與圓A相交，可得直線l與圓A有兩個交點B、C，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵

x1+x2=300 x1•x2=13750

∴|BC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

[(x1+x2)2-4x1•x2]

=100

7

．
可得A處受臺風影響的時間為

100 7

40

=

5 7

2

小時，約6小時37分鐘．
答：氣象臺A處必定受到臺風影響，在臺風圈內的時間大約6小時37分鐘．

點評：本題給出實際應用問題，求臺風影響氣象臺的時長．著重考查了圓的標準方程、直線與圓位置關系與弦長公式等知識，考查了直線與圓的知識在實際問題中的應用，屬于中檔題．