Question

下列幾個命題，正確的有

①

．（填序號）
①方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則a＜0；
②若冪函數y=xm2+2m-3的圖象與坐標軸沒有交點，則m的取值范圍為（-3，1）
③若f（x+1）為偶函數，則有f（x+1）=f（-x-1）；
④函數y=f（2^x）的定義域為[1，2]，則函數y=f（x）的定義域為[0，1]．

Answer 1

分析：根據韋達定理及一元二次方程根的個數與△的關系，可以判斷①的真假；根據冪函數的圖象和性質，可以判斷②的真假；根據函數的對稱性及軸對稱函數解析式與對稱軸的關系，可以判斷③的真假；根據復數函數定義域的求法，根據已知求出函數y=f（x）的定義域，即可得到答案．

解答：解：若方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則△＞0，且x₁•x₂=a＜0，解得a＜0，故①正確；
若冪函數y=xm2+2m-3的圖象與坐標軸沒有交點，則m²+2m-3≤0，解得m的取值范圍為[-3，1]；
若f（x+1）為偶函數，則表示函數若f（x）的圖象關于直線x=1對稱，而f（x+1）=f（-x-1）表示f（x）的圖象關于直線x=0（y軸）對稱，故③錯誤；
若函數y=f（2^x）的定義域為[1，2]，則函數y=f（x）的定義域為[2，4]，故④錯誤；
故答案為：①

點評：本題考查的知識點是函數的定義域及其求法，函數奇偶性的性質，冪函數的性質，函數的零點與方程的根的關鍵，熟練掌握函數與方程之間的辯證關系，掌握初等基本函數的性質是解答此類問題的關鍵．