Question

已知函數f（x）=

1

x

+

2

x2

+

1

x3

．
（1）求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（2）若a≥0，求g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

的極值點．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，令導函數大于0求出x的范圍，令導函數小于0求出x的范圍，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，由表得到函數的最值．
（2）求出f（x）的導函數，通過判斷導函數等于0根的情況，對參數a進行分類討論，求出函數的單調區間，進一步求出函數的極值．

解答：解：（1）f′（x）=-

(x+1)(x+3)

x4

．
令f′（x）＞0，得-3＜x＜-1，
令f′（x）＜0，得x＜-3，-1＜x＜0，x＞0．
列出x，f′（x），f（x）的變化情況表

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- 1 2 ）	- 1 2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	- 9 64	?	極小值 - 4 27		極大值0		-2

∴最大值為0，最小值為-2．
（2）g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

；
設u=x²+4x+3a．
△=16-12a，
①當a≥

4

3

時，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）沒有極值點
②當0＜a＜

4

3

時，x₁=-2-

4-3a

，x₂=-2+

4-3a

＜0．
減區間：（-∞，x₁），（x₂，0），（0，+∞），增區間：（x₁，x₂）．
∴有兩個極值點x₁，x₂．
③當a=0時，g（x）=

1

x

+

2

x2

，g′（x）=-

x+4

x3

．
減區間：（-∞，-4），（0，+∞），增區間：（-4，0）．
∴有一個極值點x=-4．
綜上所述：a=0時，有一個極值點x=-4；
0＜a＜

4

3

時有兩個極值點x=-2±

4-3a

；
a≥

4

3

時沒有極值點．

點評：求函數在閉區間上的最值，一般利用導數求出函數的極值，再求出閉區間的兩個端點值，從中選出最值；求函數的極值，一般令導函數等于0求出根，再判斷根左右兩邊的導函數符號是否異號．