Question

【題目】橢圓: 的離心率為,拋物線:截軸所得的線段長等于.與軸的交點為，過點作直線與相交于點直線分別與相交于.

(1)求證:；

(2)設,的面積分別為,若 ,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：

(1)由題意可求得橢圓的方程為.直線的方程為(存在),,.聯立直線方程與拋物線方程可得,，韋達定理計算可得,則.

(2)由(1)可知和均為直角三角形,設直線方程為,與拋物線方程聯立可得,同理可得,則.同理求得,則，故的取值范圍是[,+∞).

試題解析：

(1)由題設得,∴,又,∴ ,解得.

因此橢圓的方程為.由拋物線的方程為,得.

設直線的方程為(存在),,.

于是由消去得,∴,①

∴

∴將①代入上式得,

故.

(2)由(1)知,,∴和均為直角三角形,設直線方程為,直線方程為,且,由解得或,∴,同理可得,

∴.

由解得或,∴,

同理可得,

∴,

∴

又∵＞0,∴≥.

故的取值范圍是[,+∞).