Question

已知函數f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）當a=2時，把函數f（x）寫成分段函數的形式；
（2）當a=2時，求f（x）在區間[1，3]上的最值；
（3）設a≠0，函數f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，f（x）=x²+3x|x-a|=

4x2-6x，x≥2 -2x2+6x，x＜2

．
（2）結合函數f（x）的圖象（圖1）可得函數在區間[1，3]上最大值為f（3）=18，最小值為f（2）=4．
（3）當a＞0時，函數的圖象如圖2所示，最小值一定在x=a處取得，最大值在x=

3

4

a處取得，由此求出m、n的取值范圍．當a＜0時，函數的圖象如圖3所示，最大值一定在x=a處取得，最小值在x=

3a

8

處取得，由此求出m、n的取值范圍，綜合可得結論．

解答：解：（1）當a=2時，f（x）=x²+3x|x-a|=

4x2-6x，x≥2 -2x2+6x，x＜2

． …..4分
（2）結合函數f（x）的圖象（圖1）可得，f（1）=4，f（2）=4，f（3）=18，f（

3

2

）=

9

2

，
所以函數在區間[1，3]上最大值為18，最小值為4．…..8分
（3）當a＞0時，函數的圖象如圖2所示，要使得在開區間（m，n）有最大值又有最小值，則最小值一定在x=a處取得，最大值在x=

3

4

a處取得；
又f（a）=a²，在區間（-∞，a）內，函數值為a²時，x=

a

2

，所以

a

2

≤m＜

3a

4

．
f（

3a

4

）=

9a2

8

，而在區間（a，+∞）內函數值為

9a2

8

時，
x=

3+3 3

8

a，所以，a＜n≤

3+3 3

8

a．…..12分
當a＜0時，函數的圖象如圖3所示，要使得在開區間（m，n）有最大值又有最小值，則最大值一定在x=a處取得，最小值在x=

3a

8

處取得，
f（a）=a²，在（a，+∞）內函數值為 a² 時，x=-

a

4

，所以，

3a

8

＜n≤-

a

4

，f（

3a

8

）=-

9a2

16

，在區間（-∞，a）內，函數值為-

9a2

16

時，
x=

6-3 6

8

a，所以 

6-3 6

8

 a≤m＜a．…..15分
綜上所述，當a＞0時，

a

2

≤m＜

3a

4

，a＜n≤

3+3 3

8

a．
當a＜0時，

6-3 6

8

a≤m＜a，

3a

8

＜n≤-

a

4

．…..16分．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數，求二次函數在閉區間上的最值，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．