Question

（文）已知函數f（x）=x²（x-a）．
（1）若f（x）在（2，3）上單調，求實數a的取值范圍；
（2）若f（x）在（2，3）上不單調，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數的導函數，得到導函數為0的x值是0和

2a

3

根據f（x）在（2，3）上單調，則說明其中的一個根

2a

3

不在（2，3）內，由此列不等式可解實數a的取值范圍；
（2）f（x）在（2，3）上不單調，說明其中的一個根

2a

3

在（2，3）內，由此列不等式可解實數a的取值范圍．

解答：解：由f（x）=x³-ax²，得f′（x）=3x²-2ax=3x（x-

2a

3

）．
（1）若f（x）在（2，3）上單調，則

2a

3

≤2，或

2a

3

≥3，解得：a≤3，或a≥

9

2

．
∴實數a的取值范圍是（-∞，3]∪[

9

2

，+∞）．
（2）若f（x）在（2，3）上不單調，則有2＜

2a

3

＜3，解得：3＜a＜

9

2

．
∴實數a的取值范圍是（3，

9

2

）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，函數在某一區間上單調，說明其導函數在該區間內無解，若一個函數的導函數是二次函數，函數在某一區間內不單調的條件是導函數有不等根且至少有一根在該區間內，此題是中檔題．