Question

對于給定的正整數n（n≥2），記集合Mn={2，2²，2³，…，2ⁿ}．現將集合M_n的所含有兩個元素的子集依次記為A_k（k=1，2，3，…），并將集合A_k中兩個元素的積記為a_k，所有可能的a_k的和記為S．則
（1）若a_k的最大值為128，則n=    ；
（2）求S=    （用n表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，a_k的最大值為2^（n-1）+n=2^2n-1，根據a_k的最大值為128，可求n的值；
（2）由題意，a_k可表示為2ⁱ•2^j（1≤i＜j≤m），表示出S，分組求和，即可得到結論．
解答：解：（1）由題意知，a_k的最大值為2^（n-1）+n=2^2n-1
∵a_k的最大值為128，∴2^2n-1=128，∴n=4；
（2）由題意，a_k可表示為2ⁱ•2^j（1≤i＜j≤m），則
S=（2¹⁺²+2¹⁺³+…+2¹⁺ⁿ）+（2²⁺³+2²⁺⁴+…+2²⁺ⁿ）+…+2^{（n-2）+（n-1）}+2^（n-2）+n）+2^（n-1）+n
∵2^1+（s+1）+2^2+（s+1）+…+2^s+（s+1）=4•（4^s-2^s）
∴S=4[（4+4²+…+4^n-1）-（2+2²+…+2^n-1）]=
故答案為：4，
點評：本題考查數列的求和，考查學生分析解決問題的能力，考查分組求和，屬于中檔題．