Question

設P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N)是二次曲線C上的點，且a₁=|OP₁|²,a₂=|OP₂|²,…,a_n=|OP_n|²構成了一個公差為d(d≠0)的等差數列，其中O是坐標原點，記S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)若C的方程為=1,n=3,點P₁(10，0)且S₃=255，求點P₃的坐標；(只需寫出一個)

(2)若C的方程為+=1(a＞b＞0)，點P₁(a,0)，對于給定的自然數n，當公差d變化時，求S_n的最小值.

Answer 1

(1)解：a₁=|OP₁|²=100,

    由S₃=(a₁+a₃)=255,得

a₃=|OP₃|²=70.

    由解得

∴點P₃的坐標為(2，).

(2)解法一：原點O到二次曲線C:+=1(a＞b＞0)上各點的最小距離為b，最大距離為a.

∵a₁=|OP₁|²=a²,

∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+(n-1)d≥b².

∴≤d＜0.

∵n≥3,＞0,

∴S_n=na²+d在［,0］上遞增.

    故S_n的最小值為na²+×=.

解法二：對每個自然數k(2≤k≤n),

    由

    解得y_k²=.

∵0＜y_k²≤b²,得≤d＜0,

∴≤d＜0.

    以下與解法一相同.