Question

【題目】已知函數的圖象在處的切線方程為.

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：.（注：，是常數）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據導數的幾何意義可得，根據可得，對求導后，分類討論可得函數的單調性；

（2）代入，將所證不等式轉化為證不等式，利用（1）的結論得到，進一步得到，從而可得，再構造函數，利用導數可證，最后根據不等式的傳遞性可證不等式.

（1）因為，所以.

因為，所以，

所以.

所以，，

當時，，在上單調遞減.

當時，令，得；令，得.在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述：當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減

（2）證明：由題意，要證，即證.

由（1）知，當時，，所以，即，

由，兩邊同時取自然對數，可得，

于是，即，

所以，

因為和不能同時取到，所以，

故.

令，

則，

因為和不能同時取到，故.

因為，所以，

所以原不等式成立.