Question

【題目】已知點，點在軸上，點在軸上，且．當點在軸上運動時，點的軌跡記為曲．

（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；

（Ⅱ）過曲線上一點，作圓的切線，交曲線于兩點，若直線垂直于直線，求的面積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）設點，由表示出的坐標，根據及平面向量數量積的坐標運算，即可確定曲線的軌跡方程；

（Ⅱ）根據題意可知直線的斜率必定存在時，設表示出及直線的方程，結合與圓相切及點到直線距離公式，可得方程，再由韋達定理表示出直線的斜率公式，結合即可確定的值，進而求得的面積．

（Ⅰ）設點，則，

所以，

因為，所以，

即，

所以曲線的軌跡方程為，.

（Ⅱ）由題知直線的斜率不為0，當直線的斜率不存在時，由拋物線的特征可知此時不垂直，故不合題意；

當直線的斜率存在時，記，

則，

所以直線的方程為，

即，由直線和圓相切，

得，化簡可得，

同理可得，

所以是方程的兩根，

故，

所以直線的斜率，

又，由得，

即，

所以

．