Question

【題目】如圖，拋物線和圓，直線經過拋物線的焦點，依次交拋物線與圓四點， ，則的值為（ ）

A. B. C. 1 D.

Answer 1

【答案】A

【解析】拋物線焦點準線方程為，

圓的圓心是(,0)半徑r=，

過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及圓于點A，B，C，D，

A，D在拋物線上，B，C在圓上

①若直線的斜率不存在,則直線方程為x=，

代入拋物線方程和圓的方程，

可直接得到ABCD四個點的坐標為(,p),( ,),(,)(,p)，

所以|AB||CD|=pp=2，

解得；

②若直線的斜率存在,設為k,則直線方程為y=k(x)，

因為直線過拋物線的焦點(,0)，

不妨設A(x1,y1),D(x2,y2)，

由拋物線的定義,|AF|= x1+,|DF|= x2+，

把直線方程與拋物線方程聯立，消去y可得

k2x2(pk2+2p)x+k2=0，

由韋達定理有x1 x2=，

而拋物線的焦點F同時是已知圓的圓心，

所以|BF|=|CF|=r=p，

從而有|AB|=|AF||BF|= x1，

|CD|=|DF||CF|= x2，

由|AB||CD|=2,即有x1 x2=2，

由=2,解得.

故選：A.