Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0），坐標平面上一點P滿足：△PF₁F₂的周長為6，記點P的軌跡為C₁．拋物線C₂以F₂為焦點，頂點為坐標原點O．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若過F₂的直線l與拋物線C₂交于A，B兩點，問在C₁上且在直線l外是否存在一點M，使直線MA，MF₂，MB的斜率依次成等差數列，若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用△PF₁F₂的周長為6，結合橢圓的定義，可求C₁的方程；利用拋物線C₂以F₂為焦點，頂點為坐標原點O，可得C₂的方程；
（Ⅱ）設出直線方程與拋物線方程，利用直線MA，MF₂，MB的斜率依次成等差數列，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）依題意可知，△PF₁F₂的周長為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|，由于|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4，
由于|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|，故點P的軌跡為C₁為以F₁，F₂為焦點的橢圓的一部分，且a=2，c=1，故，
故C₁的方程為：；C₂的方程為：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），設直線AB的方程為：x=my+1，，…（6分）
故，
故，…（8分）
由，y²-4my-4=0，
故y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，…（10分）
故m（x+1）（x-my-1）=0，…（11分）
因為直線AB不經過點M，故x-my-1≠0，故m=0或x+1=0，…（12分）
當m=0時，C₁上除點外，均符合題意；…（13分）
當m≠0時，則當x=-1時，橢圓上存在兩點和都符合條件．…（14分）
點評：本題考查橢圓、拋物線的定義，考查橢圓的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．