Question

已知函數f（x）=x-klnx，常數k＞0．
（I）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求f（x）的單調區間；
（II）若函數g（x）=xf（x）在區間（1，2）上是增函數，求k的取值范圍；
（III）設函數F（x）=，求證：F（1）F（2）F（3）…F（2n）＞2ⁿ（n+1）ⁿ（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：求導函數，可得，因為x=1是函數f（x）的一個極值點，f′（1）=0，∴k=1，…（2分）
所以
令f′（x）＞0，可得x∈（1，+∞）∪（-∞，0），∵x＞0，∴x∈（1，+∞）
令f′（x）＜0，可得x∈（0，1）…（3分）
故函數F（x）的單調遞增區間是（1，+∞），單調遞減區間是（0，1）．…（4分）
（Ⅱ）解：因為函數g（x）=xf（x）在區間（1，2）上是增函數，則g′（x）=2x-k（1+lnx）≥0對x∈（1，2）恒成立，即對x∈（1，2）恒成立　　　　　　　　 …（5分）
令，則知對x∈（1，2）恒成立．…（6分）
所以在x∈（1，2）單調遞增，h_min（x）＞h（1）=2..…．…（7分）
所以k≤2．（8分）
（Ⅲ）證明：F（x）==，F（1）F（2）F（3）…F（2n）=（）（）…（）
因為（）（）=++＞（2n-k）（k+1）+2=2n+2+2nk-k²-k=2n+2+k（2n-k-1）＞2n+2．…（10分）
（k=0，1，2，3…n-1）
所以（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2，…，（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2．…（11分）
相乘，得：F（1）F（2）F（3）…F（2n）
=（）（）…（）＞（2n+2）ⁿ=2ⁿ（n+1）ⁿ．…（12分）
分析：（Ⅰ）求導函數，根據x=1是函數f（x）的一個極值點，可求k的值，令f′（x）＞0，可得函數F（x）的單調遞增區間，令f′（x）＜0，可得單調遞減區間；
（Ⅱ）根據函數g（x）=xf（x）在區間（1，2）上是增函數，可得g′（x）=2x-k（1+lnx）≥0對x∈（1，2）恒成立，即對x∈（1，2）恒成立，令，求出最小值，即可求得k的取值范圍；
（Ⅲ）先證明（）（）＞2n+2，再利用疊乘即可得到結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，解題的關鍵是分離參數，確定函數的最值．