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對于函數f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,則稱x0為函數f(x)的不動點,
(1)設f(x)=x2-2,求函數f(x)的不動點;
(2)設f(x)=ax2+bx-b,若對任意實數b,函數f(x)都有兩個相異的不動點,求實數a的取值范圍;
(3)若奇函數f(x)(x∈R)存在K個不動點,求證:K為奇數.
分析:(1)由f(x)=x2-2=x,能求出f(x)的不動點.
(2)由f(x)=ax2+bx-b,對任意實數b,都有兩個相異的不動點,知方程ax2+bx-b=x恒有兩個不同解,故ax2+(b-1)x-b=0恒有兩個不同解,故△=(b-1)2+4ab>0恒成立,由此能求出實數a的取值范圍.
(3)對于f(x)上任意不動點(x0,x0),有f(x0)=x0,由f(x)是奇函數,知f(-x0)=-f(x0)=-x0,故(-x0,-x0)也是f(x)上的不動點,再由(0,0)是f(x)的不動點,知f(x)不動點的個數k必為奇數.
解答:解:(1)由f(x)=x2-2=x,得x=-1,或x=2.
∴f(x)的不動點是-1和2.
(2)因為f(x)=ax2+bx-b對任意實數b,都有兩個相異的不動點,
即方程ax2+bx-b=x恒有兩個不同解,
∴ax2+(b-1)x-b=0恒有兩個不同解
∴△=(b-1)2+4ab>0恒成立,
∴b2+(4a-2)b+1>0恒成立,
∴(4a-2)2-4<0,
解得0<a<1.
故實數a的取值范圍是(0,1).
(3)證明:∵奇函數f(x)(x∈R)存在K個不動點,
對于f(x)上任意不動點(x0,x0),有f(x0)=x0,
∵f(x)是奇函數,∴f(-x0)=-f(x0)=-x0,
∴(-x0,-x0)也是f(x)上的不動點,
即:x0≠0時,f(x)的不動點必成對出現
∵(0,0)是f(x)的不動點
所以,f(x)不動點的個數k必為奇數.
點評:本題考查函數的恒成立問題的應用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數與方程思想,化歸與轉化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數學思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
練習冊系列答案
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①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“穩定區間”的函數有
 
(填出所有滿足條件的函數序號)

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x+2
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12
<m<1;
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x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個不動點0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數f(x)的單調區間,
(2)已知各項不為0的數列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示數列{an}的前n項和,求證:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前題條件下,設bn=-
1
an
,Tn表示數列{bn}的前n項和,求證:T2011-1<ln2011<T2010

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