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已知復數z=cosα+isinα，求證：z3+
1z3
=2cos3α．
分析：直接把復數z代入要證明等式左邊，按復數乘方運算，化簡即可．
解答：證明：z3+
1
z3
=z3+z-3=(cosα+isinα)3+(cosα+isinα)-3
=cos3α+isin3α+cos（-3α）+isin（-3α）
=2cos3α
點評：本題考查復數的基本概念，三角函數恒等式的證明，考查計算能力，是基礎題．
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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•浦東新區二模）已知復數z=1+ai（a∈R），ω=cosα+isinα，α∈（0，2π），若z=
.
z
+2i，且| z-ω| = 
5
，求角α的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知復數z=
cos2θ+isin2θ
cosθ-isinθ
是實數，則 sin3θ=（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知復數z=（a2-4sin2θ）+2（cosθ+1）i，其中a∈R+，θ∈（0，π），i為虛數單位，且z是方程x2+2x+2=0的一個根．
（1）求θ與a的值；
（2）若w=x+yi（x，y為實數），求滿足|w-1|≤|
.
z
z+i
|的點（x，y）表示的圖形的面積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知復數z=cosα+isinα，求證：z3+
1
z3
=2cos3α．

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