Question

已知函數
(Ⅰ)設，求的單調區間;
(Ⅱ) 設，且對于任意，.試比較與的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 單調遞減區間是，單調遞增區間是 
(Ⅱ)

(Ⅰ)由得
（1）當時，
(i)若，當時，恒成立，
所以函數的單調遞減區間是.
(ii)若，當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增.
所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是
（2）當時，令得，
由得
顯然
當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增.
所以函數的單調遞減區間是，
單調遞增區間是.
(Ⅱ)由題意知函數在處取得最小值，
由（I）知是的唯一極小值點，
故，整理得，
令則
由得
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減.
因此
故，即
即
【考點定位】本題考查導數法研究函數的單調性和相關函數值的大小比較，考查分類討論思想、推理論證能力和運算求解能力.函數的單調區間判斷必然通過導數方法來解決，伴隨而來的是關于的分類討論.比較與的大小時要根據已知條件和第一問的知識儲備，構造新的函數利用單調性直接運算函數值得到結論.本題具備導數研究函數單調性的特征，必然按照程序化運行，即求導、關于參數分類討論、確定單調區間等步驟進行.而第二問則是在第一問的基礎上進一步挖掘解題素材，如隱含條件的發現、新函數的構造等，都為解決問題提供了有力支持.