Question

正四棱臺上、下底面的邊長為b、a（a＞b）且側面積等于兩底面面積之和，則棱臺的高是

ab

a+b

．

Answer 1

分析：設A、B分別是棱臺的底面中心，C、D分別為底面正方形邊的中點．作出直角梯形ABCD如圖，過C作CE⊥AD于E，設棱臺的高為h，斜高為h'，據題意可得

1

2

（4a+4b）h'=a²+b²，得h'=

a2+b2

2(a+b)

，再在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE=

ab

a+b

，即得即棱臺的高h的大小．

解答：解：設棱臺的高為h，斜高為h'，設A、B分別是棱臺的底面中心，C、D分別為底面正方形邊的中點
作出直角梯形ABCD如圖，過C作CE⊥AD于E
∵棱臺的側面積等于兩底面面積之和，
∴

1

2

（4a+4b）h'=a²+b²，得h'=

a2+b2

2(a+b)

Rt△CDE中，DE=AD-BC=

1

2

（a-b）
∴CE=

CD2-DE2

=

[ a2+b2 2(a+b) ]2- 1 4 (a-b)2

=

ab

a+b

即棱臺的高h=

ab

a+b

故答案為：

ab

a+b

點評：本題給出棱臺的側面積等于上下底面之和，求棱臺的高．著重考查了勾股定理、正棱臺的基本概念和性質等知識，屬于基礎題．