Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2emx（m∈R）．
（1）當a=1，求函數f（x）的最大值
（2）當a＜0，且對任意實數x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）= ﹣aln（1+x）= ，

f′（x）= （x＞﹣1），

當x∈（﹣1，0）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為增函數．

∴f（x）max=f（0）=0；

（2）解：令h（x）=f（x）+1，

當a＜0，對任意實數x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，

即當a＜0，對任意實數x1，x2∈[0，2]，h（x1）≥g（x2）恒成立，

等價于當a＜0時，對任意的x1，x2∈[0，2]，hmin（x）≥gmax（x）成立，

當a＜0時，由h（x）= ﹣aln（1+x）+1，得h′（x）= = （x＞﹣1），

當x∈（﹣1，1﹣a）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數，當x∈（1﹣a，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數，

若1﹣a＜2，即﹣1＜a＜0，h（x）在（0，1﹣a）上為增函數，在（1﹣a，2）上為減函數，

h（x）的最小值為min{h（0），h（2）}=min{1， }=1，

若1﹣a≥2，即a≤﹣1，h（x）在（0，2）上為增函數，函數f（x）在[0，2]上的最小值為f（0）=1，

∴f（x）的最小值為f（0）=1，

g（x）的導數g′（x）=2xemx+x2emxm=（mx2+2x）emx，

當m=0時，g（x）=x2，x∈[0，2]時，gmax（x）=g（2）=4，顯然不滿足gmax（x）≤1，

當m≠0時，令g′（x）=0得， ，①當﹣ ≥2，即﹣1≤m≤0時，在[0，2]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，2]單調遞增，∴ ，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，則﹣1≤m≤﹣ln2；②當0＜﹣ ＜2，即m＜﹣1時，在[0，﹣ ]，g′（x）≥0，g（x）單調遞增，在[﹣ ，2]，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，∴g（x）max=g（﹣ ）= ，只需≤ 1，得m≤﹣ ，則m＜﹣1；③當﹣ ＜0，即m＞0時，顯然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）單調遞增，g（x）max=g（2）=4e2m，4e2m≤1不成立．綜上所述，m的取值范圍是（﹣∞，﹣ln2]．

【解析】（1）把a=1代入函數解析式，直接利用導數求得函數的最值；（2）構造函數h（x）=f（x）+1，對任意的x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，等價于當a＜0時，對任意的x1 ， x2∈[0，2]，hmin（x）≥gmax（x）成立，分類求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的導數，對m討論，結合單調性，求得最大值，解不等式即可得到實數m的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數的最值及其幾何意義，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲担焕�用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲导纯梢越獯鸫祟}．