Question

【題目】已知函數，（其中,為自然對數的底數）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若分別是的極大值點和極小值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)證明見解析

【解析】

（1）討論，和三種情況，分別計算得到答案.

（2）根據題意知等價于，設

，計算得到使，計算得到

得到證明.

（1）當時，，

的單調遞增區間是，單調遞減區間是；

時，，

①時，由解得或；由解得，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是

②時，由解得；由解得或，的單調遞增區間是，單調遞減區間是和；

綜上所述：

時，單調遞增區間是，單調遞減區間是；

時，單調遞增區間是和，單調遞減區間是；

時，單調遞增區間是，單調遞減區間是和；

（2）由已知和（1）得，當時滿足題意，此時， ，

令，則.

令則恒成立，

在上單調遞增，

使，即

從而當時， 單調遞減，當時， 單調遞增，

在上單調遞減

，，

即，