Question

已知函數y=a^x的圖象經過平面區域

x-y+2≤0 2x+y-8≤0 x≥1

（1）求a取值范圍的集合為A；
（2）已知“命題p：?x∈A，使x²+bx+16＞0”，寫出￢p，若命題p為真命題，求出b取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意函數y=a^x的圖象經過平面區域

x-y+2≤0 2x+y-8≤0 x≥1

，畫出可行域，利用數形結合的方法進行求解；
（2）根據“命題p：?x∈A，使x²+bx+16＞0”，直接寫出其否命題，知命題p為真命題，可以等價于x²+bx+16＞0在2≤x≤6上有解，然后再利用常數分離法進行求出b的范圍；

解答：解（1）∵函數y=a^x的圖象經過平面區域

x-y+2≤0 2x+y-8≤0 x≥1

畫對可行域：

A（2，4），B（1，6）
   由圖象可知當y=ax經過點A時，a值最小，經過點B時，a值最大，
∴2≤a≤6
∴A={a|2≤a≤6}
（2）?p：?x∈A，使x²+bx+16≤0
命題p：?x∈A，使x²+bx+16＞0為真命題
等價于x²+bx+16＞0在2≤x≤6上有解       
等價于 -b＜x+

16

x

在2≤x≤6上有解，
只要x+

16

x

在[2，6]上的最小值大于-b即可，
∵x+

16

x

≥2

16

=8（當x=4時，等號成立），又f（x）=x+

16

x

，其中f（2）=10，f（6）=6+

8

3

＜10，
∴10≥x+

16

x

≥8，要使 -b＜x+

16

x

在2≤x≤6上有解，
∴-b＜10即b＞-10；

點評：第一問比較簡單，利用數形結合的方法畫出草圖，就可求解，第二問比較麻煩，用到了常數分離法，本題考查的知識點比較全面，是一道綜合題；