Question

對于任意實數x，符號[x]表示不超過x的最大整數，例如[-1.5]=-2，[2.5]=2，定義函數{x}=x-[x]，則給出下列四個命題：①函數{x}的定義域是R，值域為[0，1]；②方程{x}=

1

2

有無數個解；③函數{x}是周期函數；④函數{x}是增函數．其中正確的序號是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

分析：要使解析式有意義，得出函數{x}的定義域為R，由周期函數的定義證明此函數為周期函數，使求出一個周期的上的值域，即為整個函數的值域，周期函數不是單調函數．

解答：解：∵函數{x}的定義域為R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴③是正確的，
當0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數{x}的值域為[0，1），∴①錯誤，
當x=

1

2

時，{x}=

1

2

，又∵函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴x=

1

2

+k時（k∈Z），{x}=

1

2

，∴②是正確的，
∵函數{x}是周期為1的函數，∴函數{x}不是單調函數，∴④錯誤
故選D．

點評：此題是自定義一個函數，求函數的性質，一般研究函數從圖象入手，要找出準確的切入點，x∈R時，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1）．