Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx
（1）若1＜a＜2，求f（x）的單調區間；
（2）若1＜a＜5，證明對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導數，令導數小于0或大于0，解不等式即可求出單調區間；
（2）利用分析法找思路，根據斜率公式將結論轉化為“函數f（x）曲線上任意兩點確定的割線斜率k＞-1”，再轉化為x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞-1，把不等式化簡后，構造函數轉化為恒成立問題，再由條件和二次函數的性質求出函數的最小值，化簡后根據a的范圍判斷符號即可．

解答：解：（1）f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，
由函數的解析式知，x＞0，
∵a∈（1，2），∴a-1∈（0，1）
令f′（x）＜0，得[x-（a-1）]（x-1）＜0，∴a-1＜x＜1
令f′（x）＞0，得[x-（a-1）]（x-1）＞0．∴0＜x＜a-1或x＞1
故當1＜a＜2時，f（x）的單調增區間為（0，a-1），（1，+∞）；減區間為（a-1，1）．
（2）“

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1”的幾何意義是函數f（x）曲線上任意兩點確定的割線斜率k＞-1，
即在任一點處的切線斜率k＞-1，
即證當-1＜a＜3時，對x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞-1，
∴f′（x）=

x2-ax+a-1

x

＞-1，且x＞0，即x²-（a-1）x+a-1＞0在（0，+∞）恒成立，
設h（x）=x²-（a-1）x+a-1＞0，且對稱軸x=

a-1

2

，
由1＜a＜5得，0＜

a-1

2

＜2，
則h（x）min=h（

a-1

2

）=（

a-1

2

）²-（a-1）（

a-1

2

）+a-1=

-(a-1)(a-5)

4

，
由1＜a＜5得，

-(a-1)(a-5)

4

＞0，
故結論得證．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性關系，以及證明不等式轉化為恒成立問題等，考查了轉化思想和構造函數方法．