Question

已知f（x）=xlnx．
（1）求g（x）=（k∈R）的單調區間；
（2）證明：當x≥1時，2x-e≤f（x）≤恒成立；
（3）任取兩個不相等的正數x₁，x₂，且x₁＜x₂，若存x＞0使f′（x）=成立，證明：x＞x₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）由g（x）=lnx+，x＞0，知g′（x）=，（x＞0），由此根據k的取值范圍進行分類討論，能求出g（x）=（k∈R）的單調區間．
（2）設h（x）=xlnx-2x+e（x≥1），令h′=lnx-1=0得x=e，當x變化時，h（x），h′的變化情況列表討論，得到h（x）≥0，f（x）≥2x-e．設G（x）=lnx-（x≥1），G′（x）=-=≤0，由此能夠推導出當x≥1時，2x-e≤f（x）≤恒成立．
（3）由f′（x）=lnx+1，知lnx+1==，，故lnx=-1，所以lnx-lnx₁=，設H（x）=lnt+1-t，（0＜t＜1），能夠證明x＞x₁．
解答：解：（1）g（x）=lnx+，x＞0，g′（x）=，（x＞0），
當k≤0時，g′（x）＞0，所以函數g（x）的增區間為（0，+∞），無減區間；
當k＞0時，g′（x）＞0，得x＞k；g′（x）＜0，得0＜x＜k
∴增區間（k，+∞），減區間為（0，k），
（2）設h（x）=xlnx-2x+e（x≥1），
令h′=lnx-1=0得x=e，當x變化時，h（x），h′的變化情況如表

x	1	（1，e）	e	（e，+∞）
h′（x）		-		+
h（x）	e-2	↘		↗

所以h（x）≥0，∴f（x）≥2x-e                                                   
設G（x）=lnx-（x≥1），G′（x）=-=≤0，
當且僅當x=1時，G′（x）=0，
所以G（x）為減函數，所以G（x）≤G（1）=0，
所以lnx-0，
所以xlnx≤，（x≥1）成立，
所以f（x）≤，
綜上，當x≥1時，
2x-e≤f（x）≤恒成立．
（3）∵f′（x）=lnx+1，
∴lnx+1==，
∴lnx=-1，
∴lnx-lnx₁=-1-lnx₁
=
=
=，
設H（x）=lnt+1-t，（0＜t＜1），
，（0＜t＜1），
∴H（t）在（0，1）上是增函數，
且H（t）在t=1處有意義，
∴H（t）＜H（1）=0，
∵∈（0，1），∴=＞0，
∴lnx-lnx₁＞0，
∴x＞x₁．
點評：本題主要考查函數的性質、導數、不等式等知識，考查數形結合、化歸與轉化、分類與討論的數學思想方法，以及運算求解能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．