Question

【題目】分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學．分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是有規律可尋的．一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段的長度為，在線段上取兩個點，，使得，以為一邊在線段的上方做一個正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

記第個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為，則（1）______；（2）如果對，恒成立，那么線段的長度的取值范圍是_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

通過分析圖1到圖4，猜想歸納出其遞推規律，求出其通項公式，再判斷該數列的性質即可．

解：由題意，得圖1中的線段為，，
圖2中的正六邊形邊長為，；
圖3中的最小正六邊形的邊長為，
圖4中的最小正六邊形的邊長為，
由此類推，，
因為

，
（1）；

（2），

對恒成立，

又，

，

，

故答案為：（1）；（2）.