Question

設函數f（x）對任意xy∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＞0，且f（1）=2
（1）求f（0），f（-1）的值
（2）求證：f（x）是奇函數
（3）試問在-2≤x≤4時，f（x）是否有最值；如果沒有，說出理由．

Answer 1

解（1）因為f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，y=0
則f（0）=2f（0），
所以f（0）=0，
令x=1，y=-1，由f（1）=2得
f（0）=f（-1）+f（1）=f（-1）+2=0
解得f（-1）=-2
（2）令y=-x，由（1）中f（0）=0，及f（x+y）=f（x）+f（y），
可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x）
故f（x）是奇函數
（3）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．?f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在R上為增函數．
∴y=f（x）在[-2，4]上為減函數，f（-2）為函數的最小值，f（4）為函數的最大值．
又f（4）=2f（2）=4f（1）=8，
f（-2）=2f（-1）=-4
∴函數最大值為8，最小值為-4
分析：（1）利用賦值法，令x=0，y=0即可求得f（0）的值，令x=1，y=-1，即可求得f（-1）的值；
（2）令y=-x，由（1）中f（0）=0，及f（x+y）=f（x）+f（y），結合函數奇偶性定義，即可得證；
（3）利用單調性的定義結合已知可證得y=f（x）在R上為增函數，可知y=f（x）在[-2，4]上為減函數，從而可求得其最大值與最小值．
點評：本題考查抽象函數及其應用，關鍵在于靈活應用（正用與逆用）函數的奇偶性與單調性進行證明與求最值，屬于中檔題．