Question

【題目】（題文）已知橢圓的離心率為，過點的直線交橢圓與兩點，，且當直線垂直于軸時，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求弦長的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】

試題分析：圓錐曲線中求范圍問題的關鍵是建立求解關于某個變量的目標函數，通過求這個函數的值域確定目標的范圍．在建立函數的過程中要根據題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時為了運算的方便，在建立關系的過程中也可以采用多個變量，只要在最后結果中把多變量歸結為單變量即可，同時要特別注意變量的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）由已知：，，

又當直線垂直于軸時，，所以橢圓過點，

代入橢圓：，

在橢圓中知：,聯立方程組可得：，

所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）當過點直線斜率為0時,點、分別為橢圓長軸的端點,

或,不合題意.

所以直線的斜率不能為0.

可設直線方程為： ，

將直線方程代入橢圓得:

，由韋達定理可得：

，

將（1）式平方除以（2）式可得：

由已知可知，，

，

所以，

又知，，

，解得：.

，，

.