Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形是直角梯形，，，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）為線段的中點.

【解析】

（1）由余弦定理，結合勾股定理可證明，再利用面面垂直的性質定理可得結論；（2）先證明，以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，取平面的一個法向量為，利用向量垂直數量積為零求出平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式求得,從而可得結果.

（1）在梯形中，， ， ，

， ，

，，

平面平面，平面平面，

平面.

（2）平面，.如圖，以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，.設，

則，取平面的一個法向量為設平面的一個法向量為，

由，得，

令，得，，

為平面的一個法向量，

，解得，

即當為線段的中點時滿足題意.