Question

已知線段AB的兩個端點A,B分別在x軸、y軸上滑動,|AB|=3,點M滿足2=.

(1)求動點M的軌跡E的方程.

(2)若曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分,求實數k的取值范圍.

 

Answer 1

(1) +y2=1 (2) k≤-或k≥.

【解析】(1)設M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),

則+=9,=(x-x0,y),=(-x,y0-y).

由2=,得解得

代入+=9,

化簡得點M的軌跡方程為+y2=1.

(2)由題意知k≠0,

假設存在弦CD被直線l垂直平分,設直線CD的方程為y=-x+b,

由消去y化簡得

(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,

Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)

=-16k2(k2b2-k2-4)>0,

k2b2-k2-4<0,

設C(x1,y1),D(x2,y2),CD中點P(xp,yp),

則x1+x2=,

xp==,

yp=-xp+b=-·+b=,

又yp=k(-1),

∴k(-1)=,得b=,

代入k2b2-k2-4<0,得-(k2+4)<0,

解得k2<5,∴-<k<.

∴當曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分時,k的取值范圍是k≤-或k≥.