Question

【題目】在單調遞增數列{an}中，a1=2，a2=4，且a2n﹣1 ， a2n ， a2n+1成等差數列，a2n ， a2n+1 ， a2n+2成等比數列，n=1，2，3，…． （Ⅰ）（�。┣笞C：數列 為等差數列；
（ⅱ）求數列{an}的通項公式．
（Ⅱ）設數列 的前n項和為Sn ， 證明：Sn＞ ，n∈N* ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）證明：因為數列{an}為單調遞增數列，a1=2＞0， 所以an＞0（n∈N*）．
由題意得2a2n=a2n﹣1+a2n+1 ， ，
于是 ，
化簡得 ，
所以數列 為等差數列．
（ⅱ）解：因為a3=2a2﹣a1=6， ，
所以數列 的首項為 ，公差為 ，
所以 ，從而 ．
結合 ，可得a2n﹣1=n（n+1）．
因此，當n為偶數時an= ，當n為奇數時an= ．﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）證明：通過（ii）可知 = ．
因為an= ，
所以 ，
∴ +…

= ，
所以 ，n∈N* ．
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）通過題意可知2a2n=a2n﹣1+a2n+1、 ，化簡即得結論；（ⅱ）通過計算可知數列 的首項及公差，進而可得結論；（Ⅱ）通過（ii）、放縮、裂項可知 ＞4（ ﹣ ），進而并項相加即得結論．