Question

【題目】已知為常數， ，函數， （其中是自然對數的底數）.

（1）過坐標原點作曲線的切線，設切點為，求證： ；

（2）令，若函數在區間上是單調函數，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）先對函數求導， ，可得切線的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函數，可證；（2）由， ，先研究函數，則，由在上是減函數，可得，通過研究的正負可判斷的單調性，進而可得函數的單調性，可求出參數范圍.

試題解析：（1）（），

所以切線的斜率，

整理得，顯然， 是這個方程的解，

又因為在上是增函數，

所以方程有唯一實數解，

故．

（2）， ，

設，則，

易知在上是減函數，從而．

①當，即時， ， 在區間上是增函數，

∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．

∴在區間上是減函數，所以滿足題意．　

②當，即時，設函數的唯一零點為，

則在上遞增，在上遞減，

又∵，∴，

又∵，

∴在內有唯一一個零點，

當時， ，當時， .

從而在遞減，在遞增，與在區間上是單調函數矛盾.

∴不合題意．綜上①②得， ．