Question

已知函數f（x）=e^x-k-x，（x∈R）．
（1）當k=0時，若函數g(x)=

1

f(x)+m

的定義域是R，求實數m的取值范圍；
（2）試判斷當k＞1時，函數f（x）在（k，2k）內是否存在零點．

Answer 1

（1）當k=0時，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1
∴f（x）在（-∞，0）上單調減，在[0，+∞）上單調增．
∴f（x）_min=f（0）=1，（5分）∵?x∈R，f（x）≥1?f（x）-1≥0成立，∴m＞-1（17分）
（2）當k＞1時，f′（x）=e^x-k-1＞0，在（k，2k）上恒成立．（9分）
∴f（x）在（k，2k）上單調增．（且連續）
且f（k）=e^k-k-k=1-k＜0，（10分）
f（2k）=e^2k-k-2k=e^k-2k∵f′（2k）=e^k-2＞0，f（x）在k＞1時單調增，
∴f（2k）＞e-2＞0（13分）
∴由零點存在定理知，函數f（x）在（k，2k）內存在零點．