Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F2為頂點的三角形周長是4+2，且∠BF1F2=．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=-x+1

【解析】

（1）利用以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F2為頂點的三角形周長是4+2，且∠BF1F2，建立方程，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的標準方程；

（2）當斜率l不存在時，過點Q（1，）引曲線C的弦AB不被點Q平分；當直線l的斜率為k時，設方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，建立方程，即可求得結論．

（1）∵以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F2為頂點的三角形周長是4+2，且∠BF1F2=．

∴2a+2c=4+2，，∴a=2，c=∴

∴橢圓方程為．

（2）當直線l的斜率不存在時，過點Q（1，）引曲線C的弦AB不被點Q平分；

當直線l的斜率為k時，l：y-=k（x-1）與橢圓方程聯立，

消元可得（1+4k2）x2-4k（2k-1）x+（1-2k）2-4=0，設

∵過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，∴，

∴解得．

∵∴點Q在橢圓內∴直線l：，即l：．