已知拋物線C:y2=2px(p>0),F為拋物線C的焦點,A為拋物線C上的動點,過A作拋物線準線l的垂線,垂足為Q.
(1)若點P(0,4)與點F的連線恰好過點A,且∠PQF=90°,求拋物線方程;
(2)設點M(m,0)在x軸上,若要使∠MAF總為銳角,求m的取值范圍.
【答案】
分析:(1)先由題意知:|AQ|=|AF,再依據A為PF的中點且點A在拋物線上,求得p值,從而得出拋物線方程;
(2)設A(x,y),y
2=2px,根據題意:∠MAF為銳角根據向量的數量積得出:

對x≥0都成立
令

對x≥0都成立,下面分類討論:(i)若

,(ii)若

,求得m的取值范圍即可.
解答:解:(1)由題意知:|AQ|=|AF|,∵∠PQF=90°,
∴A為PF的中點,∵

,
且點A在拋物線上,代入得

⇒

所以拋物線方程為

.(5分)
(2)設A(x,y),y
2=2px,
根據題意:∠MAF為銳角

且


,

∵y
2=2px,所以得

對x≥0都成立
令

對x≥0都成立(9分)
(i)若

,即

時,只要使

成立,
整理得:

,且

,
所以

.(11分)
(ii)若

,即

,只要使

成立,得m>0
所以

(13分)
由(i)(ii)得m的取值范圍是

且

.(15分)
點評:本題主要考查了拋物線的標準方程、拋物線的簡單性質,同時考查了向量的數量積,考查了計算能力.