Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=3，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時，有＞0成立．
（1）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調性，并證明；
（2）解不等式：f（x+）＜f（）；
（3）若當a∈[﹣1，1]時，f（x）≤m2﹣2am+3對所有的x∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）任取x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 則﹣x2∈[﹣1，1]，
∵f（x）為奇函數，
∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=（x1﹣x2），
由已知得，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．
（2）∵f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，∴，解得-≤x＜﹣1，
∴不等式的解集為{x|﹣≤x＜﹣1}．
（3）∵f（1）=3，f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，
∴在[﹣1，1]上，f（x）≤3，即m2﹣2am+3≥3，
∴m2﹣2am≥0對a∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范圍．
設g（a）=﹣2ma+m2≥0，
①若m=0，則g（a）=0≥0，自然對a∈[﹣1，1]恒成立．
②若m≠0，則g（a）為a的一次函數，若g（a）≥0對a∈[﹣1，1]恒成立，
則必須g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤﹣2或m≥2．
∴m的取值范圍是m=0或m≤﹣2或m≥2．
【解析】（1）任取x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 由奇函數的定義將f（x1）﹣f（x2）進行轉化，利用所給的條件判斷出f（x1）＜f（x2）即可；
（2）根據（1）的結論和增函數的定義，以及函數的定義域，列出不等式組求出x的范圍；
（3）根據（1）的結論和條件，將問題轉化為m2﹣2am+3≥3，即m2﹣2am≥0對a∈[﹣1，1]恒成立，再構造函數g（a）=﹣2ma+m2 ， 即g（a）≥0對a∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范圍，需對m進行分類討論求出此函數的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較，以及對函數單調性的性質的理解，了解函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．