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設O為坐標原點，第一象限內的點M（x，y）的坐標滿足約束條件
2x-y-6≤0
x-y+2≥0
，
ON
=(a，b) (a＞0，b＞0)，若
OM
•
ON
的最大值為40，
5
a
+
1
b
的最小值為（　�。�
分析：作出不等式對應的平面區域，利用z的幾何意義以及基本不等式的應用進行求解．
解答：解：∵
OM
•
ON
=ax+by，
∴設z=ax+by，則z的最大值為40．
作出不等式組的對應的平面區域如圖：（陰影部分）
由z=ax+by，得y=-
a
b
x+
z
b
，
由圖象可知當直線y=-
a
b
x+
z
b
，經過點A時，直線y=-
a
b
x+
z
b
的截距最大，
此時z最大（∵b＞0），
由
2x-y-6=0
x-y+2=0
，解得
x=8
y=10
，
即A（8，10），
代入z=ax+by，得40=8a+10b，
即
a
5
+
b
4
=1，
∴
5
a
+
1
b
=（
5
a
+
1
b
）（
a
5
+
b
4
）=1+
1
4
+
5b
4a
+
a
5b
≥
5
4
+2
5b
4a
•
a
5b
=
5
4
+2×
1
2
=
9
4
，
當且僅當
5b
4a
=
a
5b
，即4a2=25b2，2a=5b時取等號，
∴
5
a
+
1
b
的最小值為
9
4
，
故選：B．
點評：本題主要考查線性規劃和基本不等式的基本應用，利用z的幾何意義是解決線性規劃的關鍵，注意利用數形結合來解決．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點A（1，，0），B（0，，1），C（2sinθ，cosθ）．
（Ⅰ）若|
AC
|=|
BC
|，求tanθ的值；
（Ⅱ）設O為坐標原點，點C在第一象限，求函數y=(
OA
+2
OB
)•
OC
的單調遞增區間與值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設O為坐標原點，點P的坐標為（x-2，x-y）．
（1）在一個盒子中，放有標號為1，2，3的三張卡片，現隨機從此盒中先后連續抽出兩張卡片，記兩次抽取卡片的標號分別為x、y，求點P在第一象限的概率；
（2）若利用計算機隨機在區間[0，3]上先后取兩個數分別記為x、y，求點P在第一象限的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設O為坐標原點，若
OP
=λ
OA
+μ
OB
（λ，μ∈R），λμ=
3
16
，則該雙曲線的離心率為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•天津模擬）設O為坐標原點，點P的坐標（x-2，x-y）
（I）在一個盒子中，放有標號為1，2，3的三張卡片，現從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標號分別記為x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（II）若利用計算機隨機在[0，3]上先后取兩個數分別記為x，y，求P點在第一象限的概率．

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