Question

(本題12分)在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，其焦點在圓上．

 ⑴求橢圓的方程；

⑵設、、是橢圓上的三點(異于橢圓頂點)，且存在銳角，使．

①試求直線與的斜率的乘積；

②試求的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) ．(2) (i) ，

(ii) =．

【解析】(1)易知焦點坐標為(-1,0),(1,0),再根據離心率求出a,進而求出b的值.從而確定橢圓的方程.

(2)設，設,因，

故,再根據M在橢圓上，可得,

然后再利用點A、B在橢圓上這個條件，得到兩個方程，以此對上面的方程化簡，可求出直線與的斜率的乘積.

(ii) 因為=,然后可以根據（i）的結論，得到,

從而,又因，所以.問題到此得以解決.

(1)依題意得,  于是． 

所以所求橢圓的方程為．

      (2) (i)設，則    ①

    ②．

又設,因，

故

因在橢圓上，

故

整理得：

將①②代入上式，并由得

所以

(ii)，

故

又

故

所以，=．