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定義在D上的函數，如果滿足：，常數，都有≤M成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界.

（Ⅰ）試判斷函數在[1，3]上是不是有界函數？請給出證明；

（Ⅱ）若已知質點的運動方程為，要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.

解：（Ⅰ）∵，當時，.

∴在[1，3]上是增函數.

    ∴當時，≤≤，即 -2≤≤26.

    ∴存在常數M=26，使得，都有≤M成立.

故函數是[1，3]上的有界函數.

（Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1

∴ 

    令，則.

     當時，有，

∴在[0，+∞上單調遞減.  

故當t=0 時，有；

又，當t→+∞時，→0，

∴ ，從而有≤0，且.  ∴0≤a≤1；

故所求a的取值范圍為0≤a≤1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•揭陽二模）如圖（1）示，定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，?常數A，都有f（x）≥A成立，則稱函數f（x）在D上有下界，其中A稱為函數的下界．（提示：圖（1）、（2）中的常數A、B可以是正數，也可以是負數或零）  

（Ⅰ）試判斷函數f（x）=x3+
48
x
在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）又如具有如圖（2）特征的函數稱為在D上有上界．請你類比函數有下界的定義，給出函數f（x）在D上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數在（-∞，0）上是否有上界？并說明理由；
（Ⅲ）若函數f（x）在D上既有上界又有下界，則稱函數f（x）在D上有界，函數f（x）叫做有界函數．試探究函數f（x）=ax3+
b
x
（a＞0，b＞0a，b是常數）是否是[m，n]（m＞0，n＞0，m、n是常數）上的有界函數？

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科目：高中數學 來源： 題型：

如右圖所示，定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，常數A，都有f（x）≥A成立，則稱函數f（x）在D上有下界，其中A稱為函數的下界．（提示：圖中的常數A可以是正數，也可以是負數或零）
（1）試判斷函數f(x)=x3+
48
x
在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（2）已知某質點的運動方程為S(t)=at-2
t+1
，要使在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度是以A=
1
2
為下界的函數，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•揭陽二模）如圖（1）示，定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，?常數A，都有f（x）≥A成立，則稱函數f（x）在D上有下界，其中A稱為函數的下界．（提示：圖（1）、（2）中的常數A、B可以是正數，也可以是負數或零）

（Ⅰ）試判斷函數f（x）=x3+
48
x
在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）又如具有如圖（2）特征的函數稱為在D上有上界．請你類比函數有下界的定義，給出函數f（x）在D上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數在（-∞，0）上是否有上界？并說明理由；
（Ⅲ）已知某質點的運動方程為S（t）=at-2
t+1
，要使在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度是以A=
1
2
為下界的函數，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本題滿分12）如右圖所示，定義在D上的函數，如果滿足：對，常數A，都有成立，則稱函數在D上有下界，其中A稱為函數的下界．（提示：圖中的常數A可以是正數，也可以是負數或零）

（1）試判斷函數在上是否有下界？并說明理由；

（2）已知某質點的運動方程為，要使在上的每一時刻該質點的瞬時速度是以為下界的函數，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2008-2009學年江蘇省揚州中學高三（上）月考數學試卷（解析版） 題型：解答題

如右圖所示，定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，常數A，都有f（x）≥A成立，則稱函數f（x）在D上有下界，其中A稱為函數的下界．（提示：圖中的常數A可以是正數，也可以是負數或零）
（1）試判斷函數在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（2）已知某質點的運動方程為，要使在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度是以為下界的函數，求實數a的取值范圍．

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