Question

如圖，邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點，AF=3．
（Ⅰ）求證：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE．
（Ⅲ）在線段FE上是否存在一點P，使得AP⊥MN？若存在，求出FP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用ABCD為正方形，可得DA⊥AB，根據面面垂直的性質，可得DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）連接FB，FC，利用三角形中位線的性質，證明MN∥CF，利用線面平行的判定，可得MN∥平面CDFE；
（Ⅲ）過A點作AG⊥FB交線段于點P，P即為所求，利用△AFP∽△BAF，可求FP的長．

解答：（Ⅰ）證明：因為ABCD為正方形，所以DA⊥AB．
因為正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，
所以DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）證明：連接FB，FC，則
因為ABEF是矩形，M是AE中點，
所以M是BF的中點，
因為N是BC的中點，
所以MN∥CF，
因為MN?平面CDEF，CF?平面CDEF，
所以MN∥平面CDFE；
（Ⅲ）解：過A點作AG⊥FB交線段于點P，P即為所求．
因為CB⊥平面ABEF，
所以CB⊥AP，
因為AP⊥FB，CB∩FB=B，
所以AP⊥平面BNM，
所以AP⊥MN．
因為△AFP∽△BAF，
所以

FP

AF

=

3

4

，
因為AF=3，
所以FP=

9

4

．

點評：本題考查線面垂直的判定，考查線面平行，考查面面垂直的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．