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(本題滿分12分)

設函數(a>0,b,cÎR),曲線在點P(0,f (0))處的切線方程為

(Ⅰ)試確定b、c的值;

(Ⅱ)是否存在實數a使得過點(0,2)可作曲線的三條不同切線,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(Ⅰ). (Ⅱ)當時,過點(0,2)可作曲線的三條不同切線.

【解析】

試題分析:(Ⅰ)由

,        ……2分

又由曲線在點P(0,)處的切線方程為,得

,故.……4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

設存在實數a使得過點(0,2)可作曲線的三條不同切線,并設切點為

則切線的斜率為,

切線方程為

∵切線過點(0,2),∴

于是得,              (*)                  ……6分

由已知過點(0,2)可作曲線的三條不同切線,則方程(*)應有三個不同實數根.

,則

,得.……8分

由于,所以函數在區間上為增函數,在區間上為減函數,在區間為增函數,所以函數處取極大值,在處取極小值

要使方程(*)有三個不同實數根,,得.……11分

綜上所述,當時,過點(0,2)可作曲線的三條不同切線.……12分

注:如有其它解法,斟情給分.

考點:本題主要考查導數的幾何意義,應用導數研究函數的單調性及極值,簡單不等式解法。

點評:典型題,本題屬于導數應用中的基本問題,(2)作為存在性問題,先假定存在實數a使得過點(0,2)可作曲線的三條不同切線,通過研究函數的單調性,認識函數特征,轉化成只需使方程有三個不同實數根,得到a的不等式。

 

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