Question

（2006•宣武區一模）這份模擬題出了8道選擇題，每題5分，每道題有四個可供選擇的答案，一個是正確的，三個是錯誤的，小偉只知道其中6道題的正確答案，其余兩道題完全靠猜測回答．
（Ⅰ）求小偉選擇題正確答案不少于7個的概率；
（Ⅱ）設小偉選擇題得分為ξ，求ξ的概率分布及Eξ．

Answer 1

分析：（I）事件“小偉選擇題正確答案不少于7個”等價于“2道猜測的答案中正確答案至少有1個”，用1減去它的對立事件的概率，即得所求．
（II）由題意可得的ξ可能取值分別為30，35，40，再求出ξ取每個值的概率，即可求得ξ的概率分布和數學期望

解答：解：（I）“小偉選擇題正確答案不少于7個”等價于“2道猜測的答案中正確答案至少有1個”，
∴所求事件的概率為1-(

3

4

)2=

7

16

．…（6分）
（II）由題意可得的ξ可能取值分別為30，35，40，

P(ξ=30)=( 3 4 )2= 9 16 P(ξ=35)= C 1 2 • 1 4 • 3 4 = 3 8 P(ξ=40)=( 1 4 )2= 1 16

∴ξ的概率分布為
∴Eξ=30×

9

16

+35×

3

8

+40×

1

16

=32.5．…（13分）

點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用
1減去它的對立事件概率．離散型隨機變量的分布列及數學期望的定義和求法，屬于中檔題．