Question

【題目】已知定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），且當x∈[﹣1，0]時， ，函數 ，則關于x的不等式f（x）＜g（x）的解集為（ ）
A.（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由題意知，f（x+1）=﹣f（x），

∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），

即函數f（x）是周期為2的周期函數．

若x∈[0，1]時，﹣x∈[﹣1，0]，

∵當x∈[﹣1，0]時， ，

∴當x∈[0，1]時， ，

∵f（x）是偶函數，∴f（x）= ，

即f（x）= ．

∵函數 ，

∴g（x）= ，

作出函數f（x）和g（x）的圖象如圖：

當﹣1＜x＜0時，由 = ，

則 ，由選項驗證解得x= ，

即此時不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解為﹣1＜x＜ ，

∵函數g（x）關于x=﹣1對稱，

∴不等式式f（x）＜g（x）的解為﹣1＜x＜ 或 ＜x＜﹣1，

即不等式的解集為（ ，﹣1）∪（﹣1， ），

故選：D．

【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．