Question

【題目】橢圓C： =1（a＞b＞0）的左，右焦點分別是F1 ， F2 ， 且離心率為 ，點P為橢圓上一動點，△F1PF2內切圓面積的最大值是 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A是橢圓C的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交C于A．M兩點，點N在C上，MA⊥NA，且|AM|=|AN|．求△AMN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：橢圓 =1（a＞b＞0）的焦點在x軸，

由e= = ，則a=2c，

設△F1PF2內切圓半徑為r，

由△F1PF2的面積為S= r（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨）= r（2a+2c）

∴當S最大，則r最大，

當P為橢圓上下頂點時，△F1PF2的面積最大，其內切圓面積取得最大值，

∵πr2= ，解得：r= ，

△F1PF2的面積最大值Smax= 2cb= （2a+2c），

整理得：bc= （a+c），

則bc= c，解得：b=

由a2=b2+c2，則a=2，b=1，

∴橢圓的標準方程為： ；

（2）解：則直線AM的方程為：y=k（x+2）．

聯立 ，整理得，（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

解得：x=﹣2或 ，

則 ，

∵AM⊥AN，

∴ ，

∵|AM|=|AN|，k＞0，

∴ ，

整理得（k﹣1）（4k2﹣k+4）=0，4k2﹣k+4=0無實根，

∴k=1．

△AMN的面積為S= ．

△AMN的面積 ．

【解析】（1）由題意可知：由e= = ，則a=2c，由△F1PF2的面積為S= r（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨）= r（2a+2c），當S最大，則r最大，由πr2= ，解得：r= ，則Smax= 2cb= （2a+2c），則bc= （a+c），即b= ，由a2=b2+c2 ， 則a=2，b=1，即可求得橢圓的方程；（2）由題意可知：設y=k（x+2），代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式丨AM丨，丨AN丨由|AM|=|AN|，即求得k的值，由三角形的面積公式S= ．