Question

已知定義在R上的函數f(x)和數列{a_n}滿足下列條件：

a₁=a,a_n=f(a_n-1)(n=2,3,4,…),a₂≠a₁,

f(a_n)-f(a_n-1)=k(a_n-a_n-1)(n=2,3,4,…).?

其中a為常數，k為非零常數?

(1)令b_n=a_n+1-a_n(n∈N^*)，證明數列{b_n}是等比數列；?

(2)求數列{a_n}的通項公式；

(3)當|k|＜1時，求a_n.

Answer 1

解析：本小題主要考查函數、數列、等比數列和極限等概念,考查靈活應用數學知識分析問題和解決問題的能力??

(1)證明:由b₁=a₂-a₁≠0,可得?

b₂=a₃-a₂=f(a₂)-f(a₁)=k(a₂-a₁)≠0.?

由數學歸納法可證b_n=a_n+1-a_n≠0(n∈N^*).??

由題設條件，當n≥2時,

 =.?

因此，數列{b_n}是一個公比為k的等比數列?

(2)解:由(1)知，b_n=k^n-1b₁=k^n-1(a₂-a₁)(n∈N^*).?

當k≠1時，b₁+b₂+…+b_n-1=(a₂-a₁)(n≥2);?

當k=1時，b₁+b₂+…+b_n-1=(n-1)(a₂-a₁)(n≥2).?

而b₁+b₂+…+b_n-1=(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)?

=a_n-a₁(n≥2),?

所以，當k≠1時,a_n-a₁=(a₂-a₁) (n≥2).?

上式對n=1也成立.所以數列{a_n}的通項公式為?

a_n=a+［f(a)-a］(n∈N^*).?

當k=1時,a_n-a₁=(n-1)(a₂-a₁)(n≥2).?

上式對n=1也成立?所以數列{a_n}的通項公式為?

a_n=a+(n-1)［f(a)-a］(n∈N^*).

(3)解:當|k|＜1時，?

?a_n={a+［f(a)-a］}?

=.