Question

不等式≤的解集是[-4，0]，則a的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-5]
B．[）
C．（-∞，-5）
D．（-∞，0）

Answer 1

【答案】分析：由題設知不等式≤的解集是[-4，0]，求a的取值范圍，可將問題轉化為函數f（x）=≤0在[-4，0]恒成立，由此可以借助導數求出函數在[-4，0]上的最大值，令最大值小于等于0即可解出a的取值范圍，選出正確選項
解答：解：由題意，可構造函數f（x）=
∴f′（x）=-=-
令f′（x）＞0解得x＞-或x＜-，令f′（x）＜0解得-＜x＜-如下表

x	-4		-		-
f’（x）		+		-		+
單調性		增		減		增
函數值	--1+a	↑	極大值5+a	↓	極小值	↑	-1+a

由表知，當函數的最大值是f（-）=5+a
又不等式≤的解集是[-4，0]，即在[-4，0]，恒有f（x）=≤0恒成立
故有5+a≤0恒成立，解得a≤-5
故選A
點評：本題考查利用函數恒成立證明不等式，將不等式證明的問題轉化為函數恒成立問題解決是解本題的關鍵，也是求解本題的亮點，利用函數最大值小于等于0得出參數a所滿足的不等式，是求解本題的手段，函數最值與恒成立問題結合是解決恒成立問題常用思路，題后應注意總結本題的解題脈絡，本題考查了函數的思想，是函數最值的應用題