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已知如圖，平行四邊形中，，，，正方形所在平面與平面垂直，分別是的中點。

⑴求證：平面；
⑵求平面與平面所成的二面角的正弦值。
（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）證明線面平行，一般可考慮線面平行的判定定理，構造面外線平行于面內線，其手段一般是構造平行四邊形，或構造三角形中位線(特別是有中點時)，由此本題即要證明的中點也是的中點，于是只要證明四邊形是平行四邊形，此較為容易；（2）求二面角一般分為三個步驟：作出二面角的平面角，證明此角是二面角的平面角，利用解三角形知識求出二面角的三角函數值，也可建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量的夾角，根進一步判斷二面角的大小.
試題解析：⑴證明;，,且,
四邊形是平行四邊形，為的中點，又是的中點
,平面平面,
平面                       4分
⑵（解法1）過點作于，易知為中點，連結.
易知，平面，,
是平面與平面所成的二面角的平面角.      8分
,
,
即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分
（解法2）以點為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則,    6分
,
設平面的法向量由，得，
令，又平面的法向量為,      9分
設平面與平面所成的二面角為，則，

即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，為的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO為四棱錐P﹣ABCD的高，且，E、F分別是BC、AP的中點．

（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求三棱錐F﹣PCD的體積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，，交AC于點M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1,

（1）證明；
（2）（文科）求三棱錐的體積
（理科）求平面和平面所成的銳二面角的正切值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，,平面底面，為中點，M是棱PC上的點，．

（1）若點M是棱PC的中點，求證：平面；
（2）求證：平面底面；
（3）若二面角M-BQ-C為，設PM=tMC，試確定t的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(14分)如圖，在直三棱柱中，，點是的中點.
（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）求證:平面；
（Ⅲ）求異面直線與所成角的余弦值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（    ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

對于空間的兩條直線，和一個平面，下列命題中的真命題是（ ）
A．若，，則B．若 ，，則
C．若，，則D．若， ，則

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱中，，，、分別為、的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四面體的體積．

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