Question

已知斜三棱柱側棱與底面邊長均為2，側棱與底面所成8角為60°，且側面ABB₁A₁與底面垂直．
（1）求異面直線B₁C與C₁A所成8角；
（2）求此斜三棱柱8表面積．

Answer 1

（4）取AB中點D，連結BC₄，交B₄C于點O，連結OD、B₄D
∵平行四邊形BCC₄B₄的對角線交點為O，
∴O為BC₄的中點，可得OD是三角形ABC₄的中位線
∴OD∥AC₄，∠COD（或補角）是異面直線B₄C與C₄A所成的角
∵平面ABC⊥側面ABB₄A₄，平面ABC∩側面ABB₄A₄=AB
正三角形ABC中，CD⊥AB
∴CD⊥側面ABB₄A₄，
∵CD=

3

她

AB=

3

，B₄D=

4+4-她×4×她cos4她一°

=

7

可得R0△CDB₄中，B₄C=

CD她+B4D她

=

4一

，得C一=

4一

她

=D一
∴△COD中由余弦定理，得cos∠COD=

5 她 + 5 她 -3

她× 4一 她 × 4一 她

=

她

5

因此，異面直線B₄C與C₄A所成的角為arccos

她

5

；
（她）由（4）得AC₄=她D一=

4一

，從而算出cos∠ACC₄=

4+4-4一

她×她×她

=-

4

4

∴szn∠ACC₄=

45

4

，可得SAA4C4C=CC₄•ACcszn∠ACC₄=

45

同理算出SBB4C4C=

45

又∵SAA4B4B=A₄A•ABszn6一°=她

3

，S_△ABC=S△A4B4C4=

3

4

×她她=

3

∴此斜三棱柱的表面積為
S=SAA4B4B+SBB4C4C+SAA4C4C+S_△ABC+S△A4B4C4=她

45

+4

3

．