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給定橢圓＞b＞0)，稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為．

(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；

(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l1l2，使得l1l2與橢圓C都只有一個交點．求證：l1⊥l2．

答案：
解析：

　　解：(1)因為，所以　　2分

　　所以橢圓的方程為，準圓的方程為　　4分

　　(2)①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

　　因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

　　當方程為時，此時與準圓交于點

　　此時經過點(或且與橢圓只有一個公共點的直線是

　　(或，即為(或，顯然直線垂直；

　　同理可證方程為時，直線垂直　　7分

　�、诋�都有斜率時，設點其中，

　　設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

　　則，消去得到，

　　即，

　　，

　　經過化簡得到：　　9分

　　因為，所以有，

　　設的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，

　　所以滿足上述方程，

　　所以，即垂直　　13分


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：2011年江蘇省宿遷市宿豫中學高考數學二模試卷（解析版） 題型：解答題

給定橢圓＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F1的距離為．
（1）求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）若傾斜角為45°的直線l與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的伴隨圓相交于M、N兩點，求弦MN的長；
（3）點P是橢圓C的伴隨圓上的一個動點，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個公共點，求證：l1⊥l2．

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科目：高中數學 來源：2013年遼寧省五校協作體高考數學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

給定橢圓＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程．
（2）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點．求證：l1⊥l2．

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科目：高中數學 來源：2012年山東省煙臺市高考數學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

給定橢圓＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程．
（2）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點．求證：l1⊥l2．

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科目：高中數學 來源：2011年上海市寶山區高考數學一模試卷（文理合卷）（解析版） 題型：解答題

給定橢圓＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F1的距離為．
（1）求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）若傾斜角為45°的直線l與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的伴隨圓相交于M、N兩點，求弦MN的長；
（3）點P是橢圓C的伴隨圓上的一個動點，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個公共點，求證：l1⊥l2．

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科目：高中數學 來源：2011年湖南省長沙市長望瀏寧四縣市高三3月調研數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

給定橢圓＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程．
（2）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點．求證：l1⊥l2．

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