Question

△ABC所在的平面外一點P，過P作PO⊥平面，垂足為O，連結PA、PB、PC．

(1)若PA＝PB＝PC，則O為△ABC的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則O是△ABC的________心；

(3)若P點到三邊AB、BC、CA的距離相等，且O點在△ABC的內部，則O是△ABC的________心；

(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，則O是AB邊的________點．

Answer 1

答案：(1)外;(2)垂;(3)內;(4)中
解析：

(1)因為斜線長相等，則射影長相等，故為外心． 　　(2)連結AO、BO．由AP⊥PB，AP⊥PC，得AP⊥平面PBC， 　　于是AP⊥BC．又BC⊥PO， 　　故BC⊥平面APO，于是BC⊥AO． 　　同理可證AC⊥BO，故O為垂心． 　　(3)設PD、PE、PF分別為點P到三邊AB、BC、CA的距離， 　　則由Rt△POD、Rt△POE、Rt△POF的斜邊分別相同，且共一條直角邊知，另一條直角邊OD、OE、OF必相等． 　　又點O在△ABC的內部，故O為△ABC的內心． 　　(4)由(1)知，O為△ABC的外心．因直角三角形的外心在斜邊的中點處， 　　故O為△ABC的斜邊AB的中點．