Question

已知函數，其中是自然對數的底數，.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）當時，求函數的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）的單調減區間為；單調增區間為；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）先求導函數，得，令，得遞增區間為；令，得遞減區間為；（Ⅱ）令，得，討論與區間的位置關系，當，或時，函數單調，利用單調性求最值；當，將定義域分段，分別判斷導函數符號，得單調區間，判斷函數的值圖像，從而求得最值.
試題解析：（Ⅰ）解：因為，，所以．
令，得．當變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

故的單調減區間為；單調增區間為．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得的單調減區間為；單調增區間為．
所以當，即時，在上單調遞增，
故在上的最小值為；
當，即時，
在上單調遞減，在上單調遞增，
故在上的最小值為；
當，即時，在上單調遞減，
故在上的最小值為.
所以函數在上的最小值為